FUNCION LOGARITMICA

FUNCION PERIODICA

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + zT)

La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que:

sen (x + 2π) = sen x

La función f(x) = tg x es periódica de periodo π, ya que cumple que:

tg (x + π) = tg x

La función mantisa, f(x) = x - E(x), es periódica de periodo 1.

Si tenemos una función periódica f(x) de periodo T, la función g(x) = f(kx) tiene de periodo:

FUNCION LOGARITMICA

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	−1
4	−2
8	−3

Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio: 

Recorrido: 

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Definición de logaritmo

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.

1

2

3

4

5

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos

1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5Cambio de base:

Logaritmos decimales

Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos

Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

FUNCION EXPONENCIAL

FUNCIONES EXPONENCIALES

Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x²   y   g(x) = 2^x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición:  Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2^x                                  

Propiedades de f(x) = b^x, b>0, b diferente de uno:

1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3)  El eje de x es la asíntota horizontal.

4)  Si  b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.

5)  Si  0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.

6)  La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:

1) Leyes de los exponentes:

    

2)  a^x = a^y  si y sólo si  x = y

3)  Para x diferente de cero, entonces a^x = b^x  si y sólo si  a = b.

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1)  2^x = 8

2)  10^x = 100

3)  4 ^{x - 3} = 8

4)  5 ^{2 - x} = 125

Ejercicio de práctica:  Halla el valor de x:

1)  2^x = 64

2)  27 ^{x + 1} = 9

La función exponencial de base e

Al igual que p, e  es un número irracional donde e = 2.71828...  La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). 

Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = e^x  define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e^x.

La gráfica de f(x) = e^x  es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función  f(x) = e^x  es una  función exponencial natural.  Como 2<e<3, la gráfica de

f(x) = e^x  está entre f(x) = 2^x  y  f(x) = 3^x, como se ilustra a continuación:

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.